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数的运算之代数学 Algebra

作者:佚名    文章来源:网络    点击数:    更新时间:2024-04-28

数学学习漫画 

一.概念描述

现代数学:代数学简称代数,是数学的一个分支,用字母代表数来研究数的运算性质和规律,从而把许多实际问题归结为代数方程或方程组。在近代数学中,代数学的研究由数扩大到多种其他对象,研究更为一般的代数运算的性质和规律。

根据研究对象的不断扩充,代数学的发展可以被分为算术、初等代数、高等代数、近代代数和现代代数五个历史时期。算术是代数的前身,也被看作代数的一部分。

小学数学:小学数学教材中没有出现“代数学”的定义,但是在四年级总复习时开始用到“数与代数”一词。

二.概念解读

“代数”一词,来自拉丁文“algebra”,但它又是从阿拉伯文变化而来的,原意是“还原”或“移项”的意思。我国清代数学家李善兰在1859年首先使用“代数”这个名词,他将英国数学家棣么甘所著的书Elemants of Algebra定名为《代数学》。

小学阶段主要研究的是“算术”和“初等代数”,所以在小学教材中没有直接出现“代数”一词,而是做了一点铺垫,称这部分内容为“数与代数”。

算术是研究数在加、减、乘、除、乘方和开方等运算下的性质的数学分支学科。而数的概念是随着历史的发展不断扩充的。我们的祖先由于记事和分配的需要,头脑中逐渐抽象出了数的概念。古希腊人曾用小石子记录牲畜的头数或部落的人数,现在使用的英语单词calculate(计算)一词就是从希腊文calculus(石卵)演变而来的。结绳记事、刻痕计数、摆小棍等也是古人常用的计数方法。这些办法代代使用,逐渐由少到多地形成了自然数的概念并且产生了记数的符号。虽然能够写出来的只是有限个,但是人们已经逐渐认识到自然数有无限多个。随着时间推移,人们逐渐发现,仅仅用自然数表示事物的多少已经不够了。比如5个人分4件东西,每个人该得几件呢?用自然数就无法表示,于是产生了分数。自然数(包括零)和正分数,通常称为算术数。非零自然数也称为正整数。算术数及其运算是小学阶段数学学习的主要内容。

随着认识的不断发展,又逐渐产生了负数的概念。正整数、负整数和零,统称为整数。如果再加上正分数和负分数,就统称为有理数。数的范围被扩充了,人们的计算更方便了。后来又有了无理数(这部分内容集中在中学学习,在小学阶段我们最熟悉的圆周率∏就是其中之一。遗憾的是,在小学阶段我们认识的无理数仅此一个,实在太少了,以至于有学生认为无理数很少,其实无理数比有理数多得多)。有理数和无理数一起统称为实数。数的范围扩大了,各种数学理论的研究就得以深化。后来实数域又被扩展到了复数域。

尽管人们对数的归类法还有某些分歧,但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止,数的家庭已发展得十分庞大。关于复数部分见下图。

初等代数是研究数和字母的代数运算理论和方法的,更确切地说,是研究有理数、实数或复数,以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代,当算术里积累了大量的各种数量问题的解法后,为了寻求有系统的、更普遍的方法,以解决各种数量关系的问题,就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

代数学的起点是用字母表示数。在人类历史的发展过程中,人们最先接触的是具体的数量,从具体的数量到抽象的数是人类认识上的第一次飞跃,也由此产生了算术理论。随着生产的发展,人们发现算术中的许多现象具有共同的特征,这时,只用几组算式来表示,就不能代表这几组算式的一般性规律,若是用语言文字表达又很麻烦。数不够用了,必然要引起数学史上第二次抽象---用字母表示数。历经2000多年,最终形成了用字母表数的方法,从此贯穿于全部数学中。由此,数学在表达方法、解题思想和研究方法方面都发生了深刻的变化。

有了字母表示数,代数学中的代数式、代数方程便出现了。因此,代数可以理解为“用字母代替数”,表明它比算术更高明。有了字母表示数,数学中的定理、性质、定律、法则、运算律等都能用字母公式表达出来了。

三.教学建议

①“数与代数”部分是义务教育阶段数学课程的重要内容,贯穿于一至九年级。它主要包括数的概念、数的运算、数量的估计:字母表示数,代数式及其运算:方程、方程组、不等式,函数等。由于此部分内容多、跨度大,把握好核心概念就显得尤为突出。如对“数感”和“符号意识”的培养是这部分内容所承载的重要任务。(具体要求可以参考《(义务教育数学课程标准(201 1年版))解读》)

②了解相关内容的本质与发展过程,从整体上认识相关概念方法的发展脉络,有助于教学目标的实现。例如,在六年级总复习时,教师在与学生交流了学过哪些数之后,问:“数数的时候,有自然数就够了,为什么还要有这么多的数呢?我们一起来回顾一下。教师出示数的发展过程的图片和简短文字,进而在学生解释的基础上讲解数的发展史,在借助于数轴将各种数进行分类,形成初级网络。这样,学生在了解历史及活动的过程中进一步认识了数。这样构建知识网络的教学,不仅有利于学生整体把握知识之间的内在联系,还能深化学生对每部分知识的理解和应用,而且能从中提炼数学思想,提升学生的能力水平。

Tags:代数,运算  
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