有个小伙伴私信我说用微积分的方法怎么去推导球的表面积和体积公式呢。我简单的来说明一下。

球的表面积推导

我们可以将球的表面划分为一个个的带状圆。怎么去理解呢，就是想象地球被纬线分割一样。那么，每一个小的分割带展开其实近似为一个长条形。我们只要知道长和宽就行。

长的计算就是上图黄色圆的周长：2πd；那么d和R是什么关系呢？如上图，假设存在一个夹角。

宽度的求法需要用到上一篇文章“中学的知识可以成功推导出球形的表面积吗？”的一些想法。

分割带展开后的矩形高类似于蓝色三角形的斜边长。一个圆上的一段圆弧的长度至于圆的半径和圆弧对应的夹角有关。

那么条形分割带的面积和这个球面的面积的计算公式如下：

积分的角度是0~π，而不是0~2π。

球的体积推导

同样的分割，算体积的时候，分割带近似看成一个圆柱体。那么小的圆柱的体积：

总结

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